Cơ sở chính tắc

Cơ sở chính tắc của một không gian tọa độ Fn là

{e1, e2,...,en}   where	e1 = (1, 0,..., 0)
	e2 = (0, 1,..., 0)
	⋮ {\displaystyle \vdots }
	en = (0, 0,..., 1)

Bất kỳ hai vectơ ei, ej trong đó i≠j là trực chuẩn, và tất cả các vectơ hiển nhiên đều có độ dài đơn vị. Vì thế {e1, e2,...,en} tạo thành một hệ cơ sở trực chuẩn.

Hàm số giá trị thực

Khi nói đến sự trực chuẩn của các hàm giá trị thực, tích trong L² thường được giả định, trừ khi được khẳng định là khác từ trước. Hai hàm ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} và ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} trực chuẩn trên đoạn [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} nếu

( 1 ) ⟨ ϕ ( x ) , ψ ( x ) ⟩ = ∫ a b ϕ ( x ) ψ ( x ) d x = 0 , a n d {\displaystyle (1)\quad \langle \phi (x),\psi (x)\rangle =\int _{a}^{b}\phi (x)\psi (x)dx=0,\quad {\rm {and}}} ( 2 ) | | ϕ ( x ) | | 2 = | | ψ ( x ) | | 2 = [ ∫ a b | ϕ ( x ) | 2 d x ] 1 2 = [ ∫ a b | ψ ( x ) | 2 d x ] 1 2 = 1. {\displaystyle (2)\quad ||\phi (x)||_{2}=||\psi (x)||_{2}=\left[\int _{a}^{b}|\phi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=\left[\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}dx\right]^{\frac {1}{2}}=1.}

Chuỗi Fourier

Chuỗi Fourier là một phương pháp biểu diễn một hàm tuần hoàn theo các hàm cơ sở hình sin. Lấy C[−π,π] là không gian các hàm liên tục có giá trị thực trên đoạn [−π,π] và tích trong là

⟨ f , g ⟩ = ∫ − π π f ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g(x)dx}

Có thể chứng tỏ rằng

{ 1 2 π , sin ⁡ ( x ) π , sin ⁡ ( 2 x ) π , … , sin ⁡ ( n x ) π , cos ⁡ ( x ) π , cos ⁡ ( 2 x ) π , … , cos ⁡ ( n x ) π } , n ∈ N {\displaystyle \left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\sin(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\sin(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\sin(nx)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(x)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\cos(2x)}{\sqrt {\pi }}},\ldots ,{\frac {\cos(nx)}{\sqrt {\pi }}}\right\},\quad n\in \mathbb {N} }

tạo thành một tập trực chuẩn.

Tuy nhiên, điều này không có nhiều hệ quả, bởi không gian C[−π,π] là vô hạn chiều, và một tập hữu hạn không thể sinh nó. Tuy nhiên, bỏ đi ràng buộc rằng n là hữu hạn khiến cho tập trở nên trù mật trên C[−π,π] và do đó là một cơ sở trực chuẩn của C[−π,π].